Soutien Scolaire Gratuit !!!

[Voltali Fessenheim]

Sans doute une autre pseudo (?) rigueur inutile comme le coup que Pod m'avait fait une fois avec les entiers qui font une bijection dans R ou whatever

[Thoranix]

Source de courant temporaire OK, mais une bonne partie des prof's refuse qu'on compare ça à un générateur. Même pour les condensateurs il me semble qu'on a pas le droit de parler de "se comporter comme un générateur".

Ils veulent sans doute éviter de donner une idée trop simplifiée aux élèves alors que la réalité est plus complexe. Un condensateur c'est tout autant un composant "passif" de filtrage qu'un composant "actif" capable de remplacer une alimentation.
Qu'ils viennent voir mon laser qui a besoin de plusieurs kilo-ampères fournis par 1 mètre-cube de condensateurs

[Tyriak]

Oui, un truc de ce genre là.
En général, la rigueur, ça évite surtout aux gens de faire une salade, comme dit mon prof' de physique.

[Voltali Fessenheim]

Helloes

C'est pas dans mes habitudes de demander de l'aide comme ça, mais bon *o*
Tout d'abord, c'est des maths de niveau bac+2 donc je sais pas si y'aura grand monde pour m'aider. Je remercie d'avance ceux qui jetteront un oeil.
La deadline pour cette aide serait lundi soir 19h
Passé ce délai j'aurais plus le temps de mettre au propre si j'attends

Je poste l'avancée de mes brouillons afin de pouvoir obtenir une vérification sur mes méthodes *car je fais que trop souvent des fautes bêtes en général* et des aides aux questions que je n'ai pas encore réussi à faire.
Je vais essayer d'être le plus complet possible


Premier Exercice :

Question 1 : Montrer que l'intégrale généralisée I = ∫[0;1] 1/(t^t) dt est convergente

Spoiler :

Problème en 0
Etudier la convergence de cette intégrale revient à chercher la convergence sur [0,1/2] vu que la partie [1/2;1] est finie
Pour tout t compris entre 0 et 1/2, t est inférieur à 1 -obvious mais bon-
Donc pour tout t E [0, 1/2] 1/(t^t) converge d'après l'échelle de Riemann
Donc ∫[0;1] 1/(t^t) converge

Question 2 : Pour (m,n) E (N*)², on pose Jm,n = ∫[0;1] t^n * (ln t) ^m dt
a. Montrer que Jm,n converge pour (m,n) E (N*)²

Spoiler :

Problème en 0, on va montrer la convergence absolue
∫[0;1] |t^n *( ln t) ^m | dt = ∫[0;1] |t|^n *| ln t| ^m dt = ∫[0;1] t^n |ln t|^m dt car t positif sur l'intervalle
= ∫[0;1] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt = ∫[0;1/e] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt +∫[1/e;1] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt
Or +∫[1/e;1] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt est finie donc l'intégrale converge si ∫[0;1/e] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt converge
D'après l'échelle de Bertrand : ∫[0;1/e] 1/(t^-n * |ln t|^-m) dt converge soit :
* Si -n = 1 et -m > 1 cad n = - et m < -1 ce qui est impossible car m et n entiers positifs
* Si -n < 1 cad n > 1 ce qui est possible
Donc Jm,n converge pour tout m de N* et pour tout entier n supérieur à 1
Montrons que ca converge si n = 1
L'intégrale devient ∫[0;1/e] 1/(t * |ln t|^-m) dt
Pour tout tous les t choisis au voisinage de 0 dans l'intervalle t E [0;1/e] on a t|ln t|^m> t^(1/2)
Donc 1/ t|ln t|^(-m) < 1/t^(1/2)
Donc ca converge aussi
Donc Jm,n converge pour tout (m,n) E (N*)²

b. Montrer que Jm,n = (-m/n+1) Jm-1,n. En déduire Jn,n

Spoiler :

Premier rang :
-1/1+1 J0,1 = -1/2 ∫[0;1] t dt = -1/4
J1,1 = ∫[0;1] t*lnt dt qui converge, on peut donc en calculer l'intégrale avec un a > 0
∫[a;1]t ln t dt = [t²/2 * lnt][a;1] - ∫[a;1] t²/2 * 1/t dt
= -a²/2 * ln a - ∫[a;1]t/2 dt = -a²/2 * ln a - 1/4 + a²/2
En faisant tendre a vers 0 on obtient : 0 -1/4 +0 = -1/4 = 1/4 -croissance comparée pour le premier 0-

Jn,n = (-n/n+1)* Jn-1,n
Je vois pas ce que le en déduire veut dire. Je dois calculer cette intégrale? %D

Question 3 : On considère la suite de fonctions (fn) définie sur [0;1] par f0(t) = 1 et pour n> 1
fn(t) =
*0 si t=0
*((-1)^n/n!) * (t^n)* (lnt^n) si t E]0;1]
a. Montrer que pour tout n E N, fn est intégrable sur [0,1] et calculer ∫[0;1] fn(t) dt

Spoiler :

Quand t tend vers 0, ((-1)^n/n!) * (t^n)* (lnt^n) tend vers 0 par croissance comparée
On peut donc prolonger la continuité sur la valeur 0 en 0
fn(t) est donc continue sur [0;1] et donc intégrable

∫[0;1] fn(t) dt
= ∫[0;1] ((-1)^n/n!) * (t^n)* (lnt^n) dt
= ((-1)^n/n!) ∫[0;1] (t^n)* (lnt^n) dt
= ((-1)^n/n!) * ([((t^(n+1))/n+1) * (ln t) ^n][0,1] - ∫[0;1] ((t^(n+1))/n+1)* n * 1/t * (ln t)^(n-1) dt
Crochet nul
= (((-1)^(n+1))/n!) ∫[0;1] ((t^(n))/n+1)* n * (ln t)^(n-1) dt

Il semblerait qu'à la jeme intégration par partie ∫[0;1] fn(t) dt = (((-1)^(n+j))/n!) * ∫[0;1] ((t^n)/((n+1)^j)) * n!/(n-j)!* (ln t)^(n-j) dt

Montrons que c'est encore vrai au rang n+1
Surement des erreurs de calculs dans le recopiage ou whatever, mais la récurrence marche bien

∫[0;1] fn(t) dt
= (((-1)^(n+j))/n!) * ∫[0;1] ((t^n)/((n+1)^j)) * n!/(n-j)!* (ln t)^(n-j) dt
= (((-1)^(n+j))/n!) * ([ (n!/(n-j)! *((t^(n+1))/((n+1)^(j+1))) * ln t ^(n-j)] [0;1] - ∫[0;1] (n!/(n-j)! *((t^(n+1))/((n+1)^(j+1))) *1/t*(n-j)* lnt^(n-j-1) dt
Crochet nul
= (((-1)^(n+j+1))/n!)∫[0;1] (n!/(n-j-1)!)* t^n/((n+1)^(j+1) *ln t ^(n-j-1) dt
Ce qu'il fallait démontrer

On utilise la formule pour intégrer jusqu'au rang n :
= (-1)^2n/n! * ∫[0;1] ((t^n)/((n+1)^n)) * n!/(n-n)!* (ln t)^(n-n) dt
= (-1)^2n *∫[0;1] t^n /(n+1)^n dt
= (-1)^2n * 1/((n+1)^(n+1))

b. Montrer que la série de fonction Sfn converge uniformément sur [0;1] et déterminer sa somme

Spoiler :

J'avais envie d'utiliser le critère d'Abel pour montrer une convergence uniforme, mais je l'ai jamais vu à l'oeuvre en TD :/

Critère d'Abel sur les séries de fonctions alternées :
* Pour tout a de [0,1], il faut montrer que (t^n)* (lnt^n) /n! est décroissante
* (fn) converge uniformément sur [0;1]

Pour la première puce :

On dérive (t^n)* (lnt^n) /n!
1/n! *(n * t^(n-1) * lnt ^n + t^n * 1/t * n * lnt ^(n-1))
Négative quand
(n * t^(n-1) * lnt ^n + t^n * 1/t * n * lnt ^(n-1) =< 0
(n t^(n-1) * lnt t ^n + n t^(n-1) * lnt ^(n-1) =<0
lnt ^n + lnt ^(n-1) <= 0
Et la, hum...


Pour la deuxième puce :

On calcule le sup de |fn -0| sur [0,1]
On appelle g la fonction de ce sup donnée après transformation par 1/n! * t^n * (-ln t) ^n
Après dérivation de g on obtient g' = n/n! * t^(n-1) * (( ln 1/t)^n - (ln 1/t) ^(n-1) )
Cette dérivée est supérieure à 0 si
( ln 1/t)^n >= (ln 1/t) ^(n-1)
Si t = 1 alors 0>= 0
Si t < 1 alors le ln est positif, on peut donc diviser les deux cotés
( ln 1/t) >= 1 cad t =< 1/e
Tableau de variation montrant que g croissante sur [0,1/e] et décroissante après
Dérivée nulle en 1/e, donc le sup est ici
g(1/e) = 1/n! * 1/e^n
Quand n tend vers +infini, ca tend vers 0
Donc il y a convergence uniforme

Donc si j'arrivais à montrer la première puce ca ira

Calculer la somme, je n'ai pas réussi. Des indications ?

Question 4 : En déduire que ∫[0;1] 1/(t^t) dt = Somme de 1 à +infini de 1/n^n

Spoiler :

Je suppose qu'il faut se servir de la somme calculée dans la question 3, mais je ne l'ai pas, donc...

Deuxième exercice :
On considère la suite de fonction Un définies sur I = [0,1] par
U0(t) = 0
Un+1(t) = Un(t) +1/2 (t-(Un(t))²)

Je viens de me rendre compte en retranscrivant l'énoncé je me suis planté sur la place du carré, donc ca fout la moitié de mes trucs en l'air

Question 1. Montrer que pour tout entier n, la fonction Un est la restriction à I d'une fonction polynomiale

Spoiler :

Premier rang :
U1 = U0 +1/2 (t-U0²)
= 1/2 *t²
qui est un polynome
On suppose que Un(t) est un polynome, on va montrer que Un+1(t) aussi
Un+1(t) = Un(t) + (1/2 (t-(Un(t)²))
= Un(t) + 1/2 *t - 1/2 * Un(t) ²
Unt est un polynome, 1/2*t aussi
Mettre au carré un polynome donne un polynome donc 1/2*un(t)² est un polynome
Une somme de polynomes est un polynome
Donc Un+1(t) est un polynome

Par contre le coup de la restriction j'ai pas trop compris...
Ca veut dire que Un doit envoyer I dans lui même pour tout n ?

Question 2 : Montrer que pour tout t E I et tout n E N on a 0=< Un()t =< Un+1(t) =< Sqrt t

Spoiler :

J'avais fait tout un truc car j'avais mal lu la place du carré dans l'énoncé, donc c'est surement faux
Mais en gros j'avais fait Un+1 - Un pour montrer la croissance
Vu que U0 est nul et que Un est croissante elle est positive
Ensuite la majoration, j'avais galéré au vu de la mauvaise lecture, mais je pense que ca doit être facile une fois qu'on le lit correctement

Question 3 : Soit c E ]0,1[. Montrer que pour tout t E [c,1] et pour tout n E N
|un(t) - sqrt t] =< (1- ((sqrt c)/2)) ^n

Spoiler :

Idem, comme j'ai mal lu, j'ai rien trouvé
Mais j'avais pas trouvé de méthode
Le coup du c pue le théorème des accroissements finis, mais je vois pas comment dériver la suite de fonction, donc on oublie...
J'avais également tenté une récurrence sur n, mais encore une fois, ma mauvaise lecture m'a fait fail

Question 4 : Etudier la convergence de la suite de fonctions Un

Spoiler :

Pour la convergence simple, j'ai utilisé le théorème du point fixe (l = f(l)) sans grande conviction qu'il marche sur les suites de fonctions, mais je trouvais que ca convergeait vers f(t) = t

Je pense qu'il faut utiliser la question 3 pour la convergence uniforme. Trouver un moyen de majorer le sup par |Unt - sqrt t|
Ou bien est ce que je fais fausse route?

Encore une fois, le deuxième exo a été mal interprété à l'énoncé, donc plein de mes calculs tombent à l'eau. Je les referais demain pour voir si ca marche mieux

Merci d'avance à ceux qui liront

[Pod607]

La manière dont tu rédiges ta question 1 sous-entend une grosse erreur de raisonnement. Dans ton échelle de Riemann, la fonction considérée est t -> 1/(t^a), avec a un paramètre et t la variable. Ici, la fonction est t -> 1/(t^t), t ne peut pas intervenir en tant que paramètre et en tant que variable
Dans le fond, cependant, tu pars de la bonne constatation, à base de majorations.


Question 2a, c'est très fouillis, d'autant plus que la réponse m'a l'air bien plus simple que ça...
Tu peux me dire ce qui est exactement écrit dans ton cours au sujet des échelles de Bertrand et Riemann?
C'est quoi cette histoire de convergence absolue? Tu remarques pas que ta fonction est de signe constant sur l'intervalle considéré?

Question 2b, t'es sûr de faire la récurrence sur le bon terme et d'avoir bien montré ce qui était demandé?
Quant à J(n,n), tu le déduis "de proche en proche" de ta relation de récurrence.

Question 3a, elle fait en fait appel à la question 2b, c'est plus rapide que ça ;D

Question 3b, série alternée, t'es bien sûr?

Question 4, ça m'a l'air d'être la bonne intuition.

Exo 2, la première question est bonne. L'histoire de la restriction à I, c'est tout con. Ce qu'on appelle "Fonction polynomiale [associée au polynôme P]", c'est LA fonction de R dans R x -> P(x). Là tes fonctions U sont définies que sur I, donc ce sont pas exactement des fonctions polynomiales, mais celles dont l'intervalle de définition est restreint à I.

Les questions 2 et 3 m'ont pas l'air évidentes, je les garde dans un coin de ma tête.

La question 4, je suis bien curieux de savoir quel "théorème du point fixe" tu utilises ;D
Y'a bien une question de f(l) = l, mais pas besoin d'invoquer un théorème pour ça
Dès qu'on parle de convergence simple, on se ramène à des suites numériques, t'as pas à te poser ce genre de question, on étudie la suite réelle Un(t0), avec t0 fixé.
Résultat, tu t'es planté sur la fonction à trouver, mais a priori c'est à cause de ton erreur de recopiage.
Il y a bien convergence uniforme, je t'invite à relire ton cours dessus pour voir le rapport avec la question du dessus.

[Voltali Fessenheim]

Merci de la réponse c:

Pour la question 1, j'ai refait par des majorations sorties du chapeau et un raisonnement capilotracté , mais bon en analyse j'ai l'impression qu'il n'y a que ca *o*
Bref

Spoiler :

Quand t tend vers 0, t^t tend vers 1 -puissance zéro-
Donc pour t suffisamment proche de zéro, il sera toujours possible de trouver un a > 0 tel que a^0,5 < t^t
Passage à l'inverse : 1/a^1/2 > 1/t^t
Or l'intégrale de 0 à 1 de 1/a^1/2 converge donc 1/t^t converge aussi

Question 2 a, dans mon cours j'ai juste l'échelle, cad
Intégrale de 0 à 1 de 1/t^a converge si a < 1
Intégrale de 0 à 1/e de 1/t^a |ln t|^b converge si a < 1 ou (a=1 et b>1)
Donc j'ai essayé de me ramener à ca
Pour la convergence absolue, c'était le prétexte pour offrir des valeurs absolues au ln et me ramener à l'échelle

Question 2 b, tu viens de me faire remarquer que j'ai oublié de faire la récurrence. Et fuck *o*
Je m'y attèle de ca pas
EDIT : Faite, elle est facile

Question 3 a, okeoke, je sens le rapport avec le Jn,n justement
EDIT : Du coup, j'ai trouvé facilement celle la avec la 2.B, mais ca me rassure, car je trouve la même chose qu'avec mon raisonnement bourrin

Question 3 b, ben vu que y'a un (-1)^n dans le fn oui? Après suffit de s'occuper de démontrer le reste, mais visiblement ca a pas l'air d'être ça. Pour la somme, est ce qu'il faut y aller sur une somme de sommes extraite dont l'une représente le signe + du -1 ^n et l'autre le signe - ?


Exo 2
Question 1. Dafuq, j'ai une question juste o_o

Question 2 et 4
http://www.bibmath.net/exercices/bde/an ... onccor.pdf
Exercice 9
Fufufufufufu

Et la question 3, ben on y réfléchit avec des potes en ce moment

Encore merci pour la vérification des réponses

Giga EDIT : C'est bon, j'ai réussi à tout faire en volant des brouillons XD

[Orodreth]

En quelle classe es tu Ordairu ?

[Voltali Fessenheim]

Licence 2 Semestre 4 Maths Eco

[Astrian]

o/

Peut-être moi dans 2 ans x)

[Tyriak]

Gras -> femelle...
T'es pas littéraire toi ? Pas que je pense que les littéraires savent pas faire de maths, mais c'est rare d'en voir en faire post bac.

[Bastien]

Gras -> femelle...

Et Runown alors ?

Et les filles en maths sup ou à Polytechnique ça existe hein...

[Pooh]

Et les filles en maths sup ou à Polytechnique ça existe hein...

On n'a jamais écrit le contraire là

[Astrian]

Gras -> femelle...
T'es pas littéraire toi ? Pas que je pense que les littéraires savent pas faire de maths, mais c'est rare d'en voir en faire post bac.

Littéraire? Merci pour le compliment mais je suis en Terminales damned ES, jusqu'à preuve du contraire. Et tentée par une licence Maths-Eco ou Eco-droit, voire Sciences Po.

[Voltali Fessenheim]

Sur quel campus ?

[Astrian]

Capitole I - Toulouse

Et toi?

[Voltali Fessenheim]

Je savais pas que y'avait du Maths Eco dans le Sud
J'avais entendu Nantes et Rennes, après stoo

Strasbourg

[Bastien]

Licence d'économie et maths éco c'est la même chose ?

Dans les 2 c'est beaucoup de maths avec tous ces calculs de bénéfices et tout...
Et des cours de 150 pages par chapitre pour la licence d'économie.

[Voltali Fessenheim]

C'est carrément pas la même chose
En Eco, t'as juste de l'éco et ce qui tourne autour, un peu de gestion+droit+compta* aussi
Ils ont ptet deux heures de maths toute pourries à tout casser. Aka résout le système linéaire ou dérive la fonction
En Maths Eco, tu as les mathématiques de Maths Pures pour plus de moitié, de l'algoprog de licence d'Informatique et après un petit tiers d'éco noyé sous les maths

Et les cours de 150 pages au chapitre, c'est un gros pipeau, je peux te l'assurer, j'ai même pas 150 pages sur un semestre, alors que les cours sont super détaillés xD
Et les maths en éco c'est super facile, le plus gros qu'on te demande de faire, c'est dériver un Lagrangien ou log linéariser

[Astrian]

Strasbourg? Cool comme ville :3 Je tente Science Po là-bas d'ailleurs.

[Tyriak]

Je me suis dit que t'étais p'tet bien en ES au moment où j'ai posté.

Gras -> femelle...

Et Runown alors ?

Et les filles en maths sup ou à Polytechnique ça existe hein...

Astrian partage son compte avec son frère. Elle écrit en gras, lui sans à ce que j'ai compris.