Soutien Scolaire Gratuit !!!

[Kestrel]

Pour tout entier naturel n, on considère dans la plan muni d'un repère orthonormé (O;I;J), les points An de coordonnée (Xn, Yn) telles que:

1. X0=Y0=1
2. X1=Y1=2
3. (Xn) est une suite arithmétique de raison 1.
4. Les coefficients directeurs an des droites (AnAn+1) sont les termes successifs d'une suite arithmétique de raison 1/2.

1) Placer dans un repère, les points A0; A1; A2; A3 ( sans déterminer leurs coordonnées par le calcul). Justifier la démarche.

(j'ai tracé une droite mais je vois pas en quoi il faut justifier! )

A0 et A1 te sont donnés, rien à justifier pour eux.
Ensuite A2. Tu sais que :

• X2 = X1 + 1, grâce au 3 de l'énoncé
• pente de (A2A1) = pente de (A1A0) + 1/2, grâce au 4 de l'énoncé

Tu as donc tout ce qu'il faut pour placer "géométriquement" A2 dans ton repère.
Idem pour A3.


2) a. Établir, pour tout entier i non nul, une expression ai en fonction de Yi+1 et Yi.

ai est le coef directeur de (Ai Ai+1), qui passe par les points Ai de coordonnées (Xi ; Yi) et Ai+1 de coordonnées (Xi+1 ; Yi+1).

À partir de là ça ne devrait pas être trop compliqué.
(définition d'un coefficient directeur)


b. En déduire que
n-1
=yn-y0
i=0
Exprime ta somme en français en lieu d'utiliser une image, parce que là on n'y comprend rien

" Somme pour i allant de 0 à n-1 des ? = ? "

[PokeKyubi]

1) Placer dans un repère, les points A0; A1; A2; A3 ( sans déterminer leurs coordonnées par le calcul). Justifier la démarche.

A0 et A1 te sont donnés, rien à justifier pour eux.
Ensuite A2. Tu sais que :

• X2 = X1 + 1, grâce au 3 de l'énoncé
• pente de (A2A1) = pente de (A1A0) + 1/2, grâce au 4 de l'énoncé (pente de...=? je ne comprends pas! )

Tu as donc tout ce qu'il faut pour placer "géométriquement" A2 dans ton repère.
Idem pour A3.


2) a. Établir, pour tout entier i non nul, une expression ai en fonction de Yi+1 et Yi.

ai est le coef directeur de (Ai Ai+1), qui passe par les points Ai de coordonnées (Xi ; Yi) et Ai+1 de coordonnées (Xi+1 ; Yi+1).

Donc: Yi=ai + Y0 et Yi+1=ai+1 + Y0

b.

" Somme pour i allant de 0 à n-1 des ai = Yn+Y0"

donc si Yi=ai+Y0
alors Yn= ai + Y0
Yn-ai=Y0
-ai=-Yn+Y0
On multiplie par -1:
ai=Yn-Y0

C'est ça?

[Kestrel]

1) La pente des droites (A2A1) et (A1A0).
La pente d'une droite est définie par son coefficient directeur, c'est la même chose.

2) a) D'où sort Y0 ?
La théorie dit que :
Si une droite de coefficient directeur a passe par les points A (x1,y1) et B (x2,y2), alors a = (y2-y1)/(x2-x1), pourvu que x1 soit différent de x2.
(je sais pas si ce théorème porte un nom, mais c'est très certainement écrit quelque part dans tes cours )
Et y a plus qu'à.

ai est le coef directeur de (Ai Ai+1), qui passe par les points Ai de coordonnées (Xi ; Yi) et Ai+1 de coordonnées (Xi+1 ; Yi+1).

2) b) À revoir vu que la 2) a) est fausse.
Par contre, ton raisonnement demeure faux.

si Yi=ai+Y0
alors Yn= ai + Y0

wtf ?

Je pense que tu n'as pas bien compris le principe du symbole Σ.

" Somme pour i allant de 0 à n-1 des ai ", ça signifie ceci :
a0 + a1 + a2 + ... + an-2 + an-1

i est un indice lié à la somme, tu ne peux pas le faire apparaître dans ton résultat, ça n'a pas de sens.

[PokeKyubi]

1) La pente des droites (A2A1) et (A1A0).
La pente d'une droite est définie par son coefficient directeur, c'est la même chose.

==> Donc cela signifie que le coefficient directeur de la droite (A2A1)=coefficient directeur de (A1A0)+(1/2)
or le coefficient directeur de (A1A0)=1 DONC (A2A1)=3/2 ??

2) a) D'où sort Y0 ?
La théorie dit que :
Si une droite de coefficient directeur a passe par les points A (x1,y1) et B (x2,y2), alors a = (y2-y1)/(x2-x1), pourvu que x1 soit différent de x2.
(je sais pas si ce théorème porte un nom, mais c'est très certainement écrit quelque part dans tes cours )

==>Si je m'en souviens! je ne l'ai pas revu cette année mais en fait c'est:
coefficient directeur= delta Y/ delta X

Et y a plus qu'à:

ai est le coef directeur de (Ai Ai+1), qui passe par les points Ai de coordonnées (Xi ; Yi) et Ai+1 de coordonnées (Xi+1 ; Yi+1).

ai= (Yi+1-Yi)/(Xi+1-Xi)
Donc: Yi+1-Yi=ai*(Xi+1-Xi) ??

[Kestrel]

1) Oui.

2) Exact, mais tu dois aller un chouïa plus loin.
Dans la question, on demande ai en fonction de Yi+1 et Yi seulement, Xi+1 et Xi ne doivent plus intervenir.
Avec les données de l'énoncé, essaie de te débarrasser du terme Xi+1 - Xi (simplement hein ! )

[PokeKyubi]

1) donc: (A3A2)=(A2A1)+(1/2)
j'ai fait le graphique et ça donne ça:




2) A oui!!
d'apres la consigne (Xn) est une suite arithmetique de raison 1 donc Xn=n+1 et Xn+1=n+2
donc:
Yi+1-Yi=ai*(n+2-n-1)
Yi+1-Yi=ai*1
Soit: ai=Yi+1-Yi ??


mais bon apres je ne vois pas le rapport pour comment deduire la somme...

[Kestrel]

Le graphique est faux.
Tu as Xn+1 = Xn + 1
Donc X2 n'est pas égal à 4 comme l'indique ton graphique. De même pour le point suivant.

Pour déduire la somme, y a une astuce à remarquer à partir du résultat que tu as trouvé.
ai = Yi+1 - Yi
ai+1 = Yi+2 - Yi+1
ai+2 = Yi+3 - Yi+2
...
Et si tu fais ai + ai+1 + ai+2, tu dois pouvoir simplifier des termes. À généraliser à la somme entière

[PokeKyubi]

ai+ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+......+ai+(n-1)+ai+n
=(Yi+1)-(Yi)+(Yi+2)-(Yi+1)+(Yi+3)-(Yi+2)+....+(Yi+n)-(Yi+(n-1))+(Yi+(n+1))-(Yi+n)
=(Yi+(n+1))-(Yi)

??

[Kestrel]

Presque !

Je te rappelle que tu cherches la somme des ai pour i allant de 0 à n-1, c'est-à-dire :
a0 + a1 + a2 + ... + an-2 + an-1

Mon message précédent t'indiquait simplement ce qui arrive à trois termes consécutifs quelconques de la somme.

i est un indice lié à la somme, tu ne peux pas le faire apparaître dans ton résultat, ça n'a pas de sens.

i fait partie du symbole Σ en quelque sorte. Tu ne peux pas avoir l'un sans l'autre. Ça ne voudrait rien dire...

Pas de i dans le résultat final.

[PokeKyubi]

C'est bon, j'ai trouvé!! je viens de comprendre! :p

Par contre à la question d'après, qui est: " 3) Montrer que pour n entier naturel non nul la somme des ai pour i allant de 0 à n-1=(n²+3n)/4" est ce que c'est le même raisonnement ou un autre?

(désolé de te déranger autant et d'être aussi agaçant! :s )

[Kestrel]

C'est bon, j'ai trouvé!! je viens de comprendre! :p

Bien !

Pour la 3, un autre raisonnement s'impose.
(ai) est une suite arithmétique. (d'après l'énoncé)
Tu connaîtrais pas un théorème sur la valeur de la somme d'un certain nombre de termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

(désolé de te déranger autant et d'être aussi agaçant! :s )

T'inquiète, ce topic est là pour ça. Et si c'est pas moi qui t'aide, y aura bien quelqu'un d'autre pour le faire :p

[PokeKyubi]

Merci

(nombre de termes * (premier terme+dernier terme))/2
=((n-1)*(a0+an-1))/2

mais en développant, an-1 ne se simplifie pas!

[Kestrel]

C'est une suite arithmétique.
Tu peux exprimer an-1 en fonction de n facilement.

Edit : il y a n termes dans ta somme, pas n-1. Compte bien

[PokeKyubi]

oui j'ai remarqué!

donc:

(n*(A0+An-1))/2
=(n*(1+((1/2)*(n-1)+1))/2
=(n*((1/2)n+(3/2))/2
=((1/2)n²+(3/2)n)/2
et si on mulitiplie par 2 en haut et en bas
=(n²+3n)/4

Voilà!

J'ai fait la suite de mon DM, est ce que tu pourrais juste me dire si je ne fait pas de connerie!? svp (dernier service!! :p)

4) Déduire des résultats des questions 2) et 3) que Yn=(n²+3n+4)/4:

J'en ai déduis que:
Yn-Y0=(n²+3n)/4
donc: Yn=(n²+3n)/4 + Y0
Or, Y0=1 donc: Yn=(n²+3n)/4 + 1
Ainsi: Yn=(n²+3n+4)/4 (j'ai mis au même dénominateur)

5)
a. donner pour tout entier naturel n, une expression de Xn en fonction de n.
Vu que Xn un suite arithmétique de raison 1 et X0=1, j'ai mis que: Xn=n+1

b. Vérifier que pour tout entier naturel n, n²+3n+4=(n+1)²+(n+1)+2
J'ai tout simplement developper (n+1)²+(n+1)+2 et je suis retombé sur n²+3n+4

c. En déduire que les points An sont situés sur un parabole P dont on précisera l'équation.

Ici, je ne vois pas trop comment justifier...

6) Dans le repère précédent, tracer la parabole P et placer les points A4 et A5:

Pour les points, il faut juste calculer Xn et Yn avec les expressions trouver au cours de l'exercice?

[Kestrel]

5) c) Les points An appartiennent à une parabole P si tu peux vérifier que leurs coordonnées (Xn , Yn) vérifient l'équation de P.
Formule générale d'une équation de parabole ?
Yn = ?
Xn = ?
Est-ce que Yn = f(Xn), où f serait l'équation d'une parabole ? Si oui, trouver f.

6) Tu traces la courbe P (nécessite la 5c), puis tu places les points d'abscisses correspondant à X4 et X5.

Tu pourrais aussi juste calculer Xn et Yn en effet, mais c'est pas la méthode demandée.


Pour le reste c'est juste.

[PokeKyubi]

Donc, si je comprends bien:
pour la 5) c. je met juste sur ma copie que:
Les points An appartiennent à la parabole P si et seulement si leurs coordonnées (Xn , Yn) vérifient l'équation de P, donc:
f(Xn)=Yn
f(n+1)=(1/4)*(n+1)²+(3/4)*(n+1)+1
Donc: f(Xn)=(1/4)n²+(5/4)n+2 est l'équation de la parabole P.

et pour le 6) je calcul les coordonnées du sommet et je recherche quelques points sur ma calculatrice puis je trace la courbe et par la suite, les point A4 et A5.

[Kestrel]

Donc, si je comprends bien:
pour la 5) c. je met juste sur ma copie que:
Les points An appartiennent à la parabole P si et seulement si leurs coordonnées (Xn , Yn) vérifient l'équation de P, donc:
f(Xn)=Yn explique à quoi f est censée correspondre - ton prof est pas supposé être devin, bien qu'il va vite deviner où tu veux en venir
f(n+1)=(1/4)*(n+1)²+(3/4)*(n+1)+1 pas compris : t'as remplacé Xn par son expression, d'accord. Mais Yn a été remplacé par quoi ? Pas par le bon truc en tout cas.
Donc: f(Xn)=(1/4)n²+(5/4)n+2 est l'équation de la parabole P.du coup non...

C'est un peu brouillon rédigé comme ça. Et du coup tu te trompes.
Faut garder Xn et Yn à la fin, pour faire apparaître l'équation de P, et surtout pas les remplacer par leur expression en fonction de n.
Ton but c'est d'avoir à la fin une expression du style Yn = f(Xn), et de remarquer que f est bien une parabole.

Regarde :

Spoiler :

Les points An appartiennent à la une parabole P si et seulement si leurs coordonnées (Xn , Yn) vérifient l'équation de P.
0. montre au lecteur où on veut aller dans le raisonnement - ça permet aussi de ne pas se perdre en cours de raisonnement :p

Donc Or on sait que : Xn = n+1, Yn = (n²+3n)/4 + 1 et n²+3n+4=(n+1)²+(n+1)+2. 1. les données
Donc 4Yn = (Xn)² + Xn + 2 2. ce qu'on en déduit
Yn = 1/4 * (Xn)² + 1/4 * Xn + 1/2
Et y = x²/4 + x/4 + 1/2 est bien l'équation d'une parabole.3. conclusion

D'où : conclusion. 4. le résultat, à encadrer :p.

Au passage, fais bien attention à l'emploi des conjonctions comme donc ou or, et surtout à leur sens. Elles permettent à ton lecteur (ou correcteur ) de suivre ton raisonnement bien plus facilement et sont indispensable dans la rédaction, encore faut-il bien les utiliser.

et pour le 6) je calcul les coordonnées du sommet et je recherche quelques points sur ma calculatrice puis je trace la courbe et par la suite, les point X4 et X5.

Comme tu veux, mais il faut que sur ta copie on pense que tu as procédé de la façon qui est demandée.
L'équation de P te suffit (en théorie) pour tracer sa courbe directement. Tu peux toujours te servir de quelques points particuliers pour t'aider, mais faut pas que ça se voit trop (et surtout pas A4 ou A5).
Ensuite tu places A4 et A5 à partir de leurs abscisses X4 et X5 respectives.

Il est demandé dans l'ordre de tracer P, puis de placer A4 et A5, pas l'inverse.

[PokeKyubi]

D'accord! J'ai compris !!
Par contre, peux-tu me dire si le graphique de la premiere question est juste, stp:




En tout cas, je te remercie vraiment de t'être donné autant de mal pour m'aider! C'est très gentil et sympathique de ta part!


Donc encore une fois, Merci énormément!!

[Kestrel]

Y a pas de quoi.

Ton graphique est juste, mais attention : A0, A1, A2 et A3 sont censés être à l'emplacement des points A, B, C et D. Pas sur l'axe des ordonnées.
(j'imagine que c'est juste sur ton logiciel que tu fais ça)

[Morgane]

Coucou c'est le jour d'avant la rentrée et j'ai rien fait des vacances (enfin, on a tout fait pour que je puisse pas bosser plutôt), enfin, ça va, mais y'a un DM de maths un peu casse-coucougnette donc je me permet de demander un peu d'aide.
C'est au sujet de la fonction tangente hyperbolique (th).

En gros y'a deux questions (2 et 3) où je sèche bien, donc je me permet de demander un peu d'aide.
Vu que c'est galère à écrire je poste une image des deux questions (c'est le (a) de chacune que j'arrive pas, y'a 6 questions en tout et le reste ça va).
J'ai en premier démontrer que th(-x)=-th(x).



Donc si quelqu'un pouvait m'aider, me mettre sur la voie ou autre, merci bien !
(Oh et non je suis pas un random account, sjuste que y'a un bug pour se connecter )